Verfahren zur Bestimmung eines Zustandsparameters eines Gases nach der Wellenlängenmodulations-Spektrometrie, welches mindestens die folgenden Schritte umfasst: Aufnehmen einer 2F-Absorptionsmesskurve einer Absorptionslinie des Gases; und Festlegen einer zu der 2F-Absorptionsmesskurve passenden Kurvenform einer Referenzkurve durch Wahl eines geeigneten OZU-Verhältnisses (OZU).
Beschreibung[de]
Die Erfindung betrifft ein Verfahren und eine Vorrichtung zur Gasanalyse
auf der Grundlage einer Laserspektroskopie, insbesondere einer Wellenlängenmodulations-Spektrometrie,
speziell zur Bestimmung einer Gaskonzentration und/oder eines Drucks.
Anhand der lasergestützten Wellenlängenmodulations-Spektrometrie
("Wavelength Modulation Spectrometry"; WMS) kann man Zustandsparameter eines Gases,
wie die Konzentration und/oder den Druck, welcher in der Messumgebung existiert,
bestimmen. Dabei wird durch eine Modulation des Laserstroms die Wellenlänge
des Lasersignals zeitlich durchgestimmt. Dadurch, dass ein kleines Sinussignal,
typischerweise im kHz Bereich, auf einen rampenförmiges Laserstrom-Signal aufmoduliert
wird (Kleinsignalmodulation), treten beim Empfangssignal Frequenzanteile bei Mehrfachen
der Modulationsfrequenz auf. Mit einem Phasengleichrichter bzw. Lock-In-Verstärker
filtert man den Anteil der Modulationsfrequenz ("1F") und der doppelten Modulationsfrequenz
("2F") des zeitlichen Signals mit möglichst kleiner Bandbreite (z.B. 10 Hz)
heraus, so dass das Signal-zu-Rausch-Verhältnis möglichst groß ist.
Die sich ergebende spektral aufgelöste 2F-Absorptionskurve ist von drei Hauptparametern
abhängig: Temperatur, Druck und Gaskonzentration. Wenn die Temperatur bekannt
ist, kann man aus den Messdaten der 2F-Absorptionskurve die Konzentration und den
Druck bestimmen.
Die Parameterbestimmung kann bisher auf verschiedenen Arten durchgeführt
werden:
Bei einem bekannten Verfahren wird zunächst eine exakte Berechnung des 2F-Absorptionsspektrums
unter einem bekannten Satz von Parametern durchgeführt, was einen hohen Rechenaufwand
bedeutet, da jeder Punkt des Spektrums mit Hilfe einer Fourier-Transformation berechnet
werden muss. Es folgt eine mehrdimensionale Anpassung des berechneten, theoretischen
Spektrums an das gemessene Spektrum durch Variation der gesuchten Parameter (z.B.
Gaskonzentration, Druck, Modulationsamplitude) mit einem mehrdimensionalen "Least
Square Fit" (Methode der kleinsten Quadrate)-Algorithmus, wie beispielsweise in
Applied Optics, Vol. 32, No. 30 (1993), p. 6090-6103, Louis C. Philippe, Ronald
K. Hanson, "Laser diode wavelength-modulation spectroscopy for simultaneous measurement
of temperature, pressure, and velocity in shock-heated oxygen flows" beschrieben.
Heutzutage liegen relativ einfache Formeln vor, mit denen das 2F-Spektrum
ohne Fourier-Transformation näherungsweise berechnet werden kann, was den Rechenaufwand
erheblich reduziert. Allerdings bleibt auch hier die Notwendigkeit bestehen, eine
mehrdimensionale Anpassungsprozedur zur Bestimmung der Gaskonzentration durchzuführen,
wie z. B. in Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer 68 (2001),
p. 299-317, Ove Axner, Pawel Kluczynski, Asa M. Lindberg, "A general non-complex
analytical expression for the nth Fourier component of a wavelength-modulated Lorentzian
lineshape function" beschrieben.
Wenn einzelne Parameter nicht stark variieren oder die Anforderung
an die Messgenauigkeit nicht hoch ist, kann man statt einer Berechnung des Spektrums
ein unter bekannten Bedingungen gemessenes 2F-Spektrum als Referenz verwenden und
dieses so skalieren, dass es mit der Messkurve am besten übereinstimmt, wie
z. B. in Bomse et al.: "Early fire sensing using near IR-diode laser spectroscopy"
beschrieben. Damit entfällt aber die Möglichkeit, Änderungen der
Randbedingungen (Druck, Temperatur) zu berücksichtigen.
Ein weiteres laserdioden-gestütztes Verfahren zur selektiven
Gasdetektion ist in DE 197 17 145 C2
offenbart.
Es ist daher die Aufgabe der vorliegenden Erfindung, eine Möglichkeit
zur Gasanalyse auf der Grundlage der Wellenlängenmodulations-Spektrometrie
mit vermindertem Auswertungsaufwand bereitzustellen, und im Besonderen eine solche
Möglichkeit zur Bestimmung einer Gaskonzentration und/oder eines Drucks, und
zwar auch unter Berücksichtigung von variablen Randbedingungen.
Dieses Verfahren nutzt aus, dass die 2F-Absorptionskurve durch zwei
charakteristische Größen bestimmbar ist, nämlich das 'Oben-zu-Unten-Verhältnis'
(OZU) und die Y-Skalierung, wie weiter unten ausgeführt wird. Das Oben-zu-Unten-Verhältnis
symbolisiert die Kurvenform, welche durch den Druck P, die Modulationsamplitude
mA, die Temperatur T und die X-Skalierung beeinflusst wird. Die Konzentration c
eines Gases hat keinen Einfluss auf die Kurvenform. Die Y-Skalierung wird durch
die Konzentration c und die Temperatur T beeinflusst, daher ist die 2F-Absorptionskurve
linear von der Konzentration c abhängig. Eine Kurvenanpassung lässt sich
unter Verwendung dieser charakteristischen Größen zu einer eindimensionalen
Schätzung vereinfachen. Zur Bestimmung der Gaskonzentration muss nur die Kurvenform,
entsprechend einer Variation des OZU-Verhältnisses, variiert
werden, was beispielsweise mit den bekannten vereinfachten Verfahren geschehen kann.
Zu einer festgelegten Kurvenform kann die Y-Skalierung optimal mit
einem vergleichsweise einfachen Least-Square-Schätzer bestimmt werden. Die
Y-Skalierung braucht somit nicht selbst variiert werden. Die Kurvenform und die
sich ergebende Y-Skalierung formen eine Referenzkurve. Die quadratische Abweichung
zwischen der Referenzkurve und der Messkurve wird dann als das zu minimierende Anpassungskriterium
("Fitness" bzw. Güte) definiert.
Die Aufgabe wird somit unter einem Gesichtspunkt der Erfindung gelöst
durch ein Verfahren zur Bestimmung eines Zustandsparameters eines Gases nach der
Wellenlängenmodulations-Spektrometrie, welches mindestens die Schritte des
Aufnehmens einer 2F-Absorptionsmesskurve des Gases und des Festlegens einer zu der
2F-Absorptionsmesskurve passenden Kurvenform einer Referenzkurve durch Festlegen
eines geeigneten OZU-Verhältnisses umfasst.
Diese Grundidee, die Bestimmung von Gasparametern auf charakteristische
Größen einer berechneten 2F-Referenzkurve zurückzuführen, ergibt
die vereinfachten Beziehungen zwischen dem Druck und/oder der Konzentration des
Gases und den Messwerten. Dadurch können die gewünschten Gasparameter
vergleichsweise schnell und mit verringertem Aufwand bestimmt werden.
Es ist vorteilhaft, wenn die normierte Referenzkurve eine auf eine
vorbestimmte Konzentration (c) des Gases, beispielsweise auf eine Gaskonzentration
von c = ca. 1 %, normierte 2F-Absorptionskurve ist.
Zur Bestimmung einer Konzentration des Gases ist es vorteilhaft, wenn
das Verfahren weiterhin folgende Schritte umfasst: Anpassen der Referenzkurve an
die 2F-Absorptionskurve durch Einstellen eines Y-Skalierungsfaktors und Bestimmen
der Konzentration aus dem Y-Skalierungsfaktor der angepassten Referenzkurve. Wie
bereits beschrieben, kann der Y-Skalierungsfaktor besonders einfach abgeschätzt
werden. Da zu einer Kurvenform (Oben-zu-Unten-Verhältnis) mehrere Paare von
Modulationsamplitude und Druck gehören, kann man so beispielsweise auch mit
einer angenommenen Modulationsamplitude und einem beliebigen Druck die richtige
Kurvenform erzeugen und dann die richtige Konzentration berechnen. Man kann also
ohne genaue Kenntnis des Drucks die Konzentration bestimmen.
Es ist insbesondere vorteilhaft, wenn das Einstellen des Y-Skalierungsfaktors
mittels einer Least-Square-Abschätzung geschieht. Es kann aber auch günstig
sein, wenn das Einstellen des Y-Skalierungsfaktors mittels einer Division eines
Maximums des Messkurve durch ein Maximum der normierten Referenzkurve (z. B. bei
c = 1%) geschieht.
Es ist auch vorteilhaft, wenn in Schritt d) das Bestimmen der Konzentration
eine Temperaturkorrektur umfasst.
Zur Bestimmung eines Drucks des Gases ist es günstig, wenn das
Verfahren weiterhin ein Bestimmen des Drucks aus dem OZU-Verhältnis umfasst,
wie weiter unten genauer ausgeführt.
Es ist auch vorteilhaft, wenn in Schritt e) das Bestimmen des Drucks
eine Druckkorrektur umfasst, bei der ein für die aktuelle Messung angenommener
Druck mittels eines Druckkorrekturfaktors in den zu bestimmenden Druck umgerechnet
wird. Dies gilt insbesondere, falls der Druckkorrekturfaktor mittels einer Eichung
ermittelt wird.
Besonders bevorzugt wird es, wenn vor Schritt a) eine Abhängigkeit
des Druckes vom OZU-Verhältnis und/oder der X-Skalierung vom Druck bestimmt
wird und beispielsweise in einem Speicher eines Messgeräts, abgespeichert wird,
insbesondere in Form einer Formel, speziell eines Polygons bzw. deren Parametern.
Dabei braucht diese Bestimmung nicht vor jeder Durchführung des Verfahrens
durchgeführt zu werden.
Es kann auch günstig sein, wenn vor jeder Durchführung des
Verfahrens eine Bestimmung von Startwerten für das OZU-Verhältnis und/oder
den Pseudo-Druck aus der gemessenen 2F-Absorptionsmesskurve durchgeführt wird.
Insbesondere ist es dann vorteilhaft, wenn die Bestimmung der Startwerte
durchgeführt wird unter Verwendung von
a. Parabelanpassungen für die Bestimmung des Maximums und der Minima der
2F-Absorptionsmesskurve für die Nullstellen der 2F-Kurve und/oder
durch
b. eine Bestimmung einer Autokorrelation mit der Referenzkurve
Es ist zur erhöhten Messgenauigkeit auch vorteilhaft, wenn vor
Schritt a) eine Kalibrierung eines zur Durchführung des Verfahrens verwendeten
Messsystems durchgeführt worden ist, wobei das Messsystem mit bekannten Gaskonzentrationen
bei verschiedenen bekannten Temperaturen und Drücken betrieben wird.
Dies kann besonders günstig sein, wenn bei der Kalibrierung ein
Eichfaktor zwischen der Y-Skalierung und der Gaskonzentration, eine X-Skalierung
und ein Eichfaktor zwischen Pseudodruck und wahrem Druck bestimmt werden.
Auch ist es günstig, wenn ein Eichfaktor für den Druck aus
dem Verhältnis zwischen angenommener Modulationsamplitude und wahrer Modulationsamplitude
bestimmt wird.
Im Folgenden wird das Verfahren anhand möglicher konkreter Ausführungsschritte
genauer dargestellt.
1. Analyse der Absorptionslinien
Zum besseren Verständnis werden zunächst die Variablen und
ihre Einheiten in Tabelle 1 dargestellt.
Die 2F-Absorptionslinie A(v) kann in Abhängigkeit von der Wellenzahl
beschrieben werden als:
Da ex ≈ 1 + x gilt, wenn x sehr klein ist, d. h.,
die Absorption nicht groß bzw. die Gaskonzentration c klein ist, folgt
mit der Linienstärke S und dem Druckverbreiterungskoeffizienten aL
formelmäßig so dargestellt:
Da der letzte Term eine Korrektur für hohe Temperaturen ist,
kann man ihn hier zu 1 setzen:
sowohl S als auch aL weisen Terme auf, die eine Funktion von T enthalten.
Daher werden zwei Funktionen mit Variablen T definiert, die jeweils den Einfluss
der Temperatur auf die Höhe oder Bereite der Kurve darstellt.
Fasst man die übrige Konstanten auch zusammen, ergibt sich:
Unter der normalen Bedingung (296 K = 23°C) sind f1(T)
und f2(T) gleich 1. Dann hat Temperatur keine Wirkung auf die Breite
oder Höhe der Kurve. Man kann die Abweichung der Wellenlänge anstatt der
Wellenzahl als Parameter einsetzen:
Um die Kurvenparameter herauszufinden, werden die Funktionen wie folgt
vereinfacht:
mit:
k1 := &bgr;·f1(T)·l·c ∝ f1(T)·l·c
k2 := &lgr;20·aL = &lgr;20·&ggr;air·f2(T)·P
∝ f2(T)·P(11)
Die Kurvenhöhe ist proportional zu k1, also zu der
Konzentration, dem Temperaturkorrekturfaktor und der Weglänge, während
die Kurvebreite proportional zu k2, also dem Druck und dem Temperaturkorrekturfaktor
ist. k2 hat die gleiche Bedeutung wie aL (HWHM) und ist nur
in Wellenlängen umgerechnet.
Mit mA ist die Modulationsamplitude der Wellenlänge bezeichnet
mit der Einheit cm. Das Eingangsignal stellt sich wie folgt dar:
&Dgr;&lgr; = &Dgr;&lgr;0 + mA·cos(z)mit: z = 2&pgr;ft(12)
Die Modulationsfrequenz f kann z. B. auf 6 KHz gesetzt werden. Die
Absorptionsfunktion ist dann eine Funktion über die zwei Variablen &Dgr;&lgr;0
und z:
Aus dieser Formel kann Folgendes abgelesen werden:
a) Es ergibt sich eine gleiche Kurvenform, wobei die 2F-Signale dann auch gleich
sind:
wenn die Modulationsamplitude, der Druck und der Abstand zwischen zwei Messpunkten
bezüglich Wellenlänge proportional zueinander sind, gilt:
Eine Skalierung von &Dgr;&lgr;0 ist eine Skalierung
in X-Richtung, sowohl bei der Absorptionskurve als auch beim 2F-Signal. Ist die
Modulationsamplitude mA nicht genau bekannt, kann man eine Modulationsamplitude
annehmen. Eine Abweichung des Druckes kann diese Abweichung der Modulationsamplitude
kompensieren. Es ergeben sich dann, bis auf eine X-Skalierung, gleiche Absorptionskurven,
also auch gleiche 2F-Signale; d.h., die Kurve wird nur breiter oder schmaler. Man
kann also durch Variation des Druckes und der X-Skalierung jede Kurvenform anpassen.
Dieser Druck wird Pseudo-Druck genannt. Er ist proportional zum realen Druck. Der
zugehörige Proportionalitätsfaktor wird Pseudofaktor genannt. Er gibt
auch das Verhältnis von realer Modulationsamplitude zu der bei der Schätzung
verwendeten Modulationsamplitude (MA_pseudo). Da auch die Auflösung (Wellenlängenabstand
zwischen zwei Messpunkten) der Messkurve unbekannt ist, wird diese günstigerweise
bei einer Eichung bestimmt werden. Weil ein Pseudofaktor ungleich 1 üblicherweise
vorhanden ist, ist diese bei der Eichung bestimmte Auflösung eine 'Pseudo-Auflösung'
bzw. 'Pseudo-X-Skalierung', d.h., sie gibt nicht den wirklichen Abstand der Punkte
in Wellenlängen an, sondern ist nur proportional dazu, was aber bei der Schätzung
der Konzentration c keine Rolle spielt.
Wenn die Auflösung schon durch Eichung angepasst ist, braucht
man dann nur noch einen Parameter, nämlich den Druck, zu variieren, um zu verschiedenen
Kurvenformen zu gelangen. Da die Modulationsamplitude als konstanter Wert angenommen
wird, ist der Pseudofaktor konstant. Von daher muss man die Auflösung bzw.
X-Skalierung nur einmal anpassen.
b) Die Temperaturfaktoren f1(T) und f2(T) kompensieren
nur Konzentration und Druck. Man kann die Temperaturabhängigkeit zunächst
vernachlässigen, und Druck und Konzentration bei einer festen Temperatur T0
schätzen. Nach der Schätzung kann dann bei bekannter wirklicher Temperatur
T der jeweilige Wert für c und p durch Multiplikation mit f1(T0)/f1(T)
bzw. f2(T0)/f2(T) korrigiert werden. Deswegen braucht
man die Referenzkurve nur für eine Temperatur und eine Modulationsamplitude
abzuspeichern. Entsprechend braucht man auch für die Beziehung des Drucks und
des Oben-zu-Unten-Verhältnisses nur eine Parabel zu speichern.
Charakteristische Größe der 2F-Kurve
Aus der theoretischen 2F-Kurve bzw. Referenzkurve kann man die Information
von Konzentration und Druck extrahieren; dafür werden, wie bereits oben angemerkt,
zwei charakteristische Größen benötigt:
• Oben-zu-Unten-Verhältnis (OZU): Das Verhältnis zwischen Maximum
und Minimum der 2F-Kurve. Dies ist von der Form der Kurve abhängig und ist
abhängig von der Temperatur T, dem Druck P und der Modulationsamplitude mA,
aber unabhängig von Konzentration, also
Daher ist das OZU für zwei Kurven gleich, wenn
ist. Da, wie vorher gesagt, T und mA zunächst konstant gelassen werden können,
ist das OZU im Wesentlichen ein Maß für den (Pseudo-)Druck und umgekehrt.
Da mA fest gesetzt ist, gibt es dies auch einen eindeutigen Zusammenhang zwischen
OZU und den Abstand der zwei Minima wieder. Wenn man OZU variiert, kann man auch
verschiedene Kurvenformen erzeugen.
• Höhe bzw. Y-Skalierung(H): Sie wird definiert als der Quotient
des Signals und einer auf c = 1% normierten Kurve mit gleichem OZU bei fester Temperatur
T0. Sie ist abhängig von der Konzentration c und der wirklichen
Temperatur T.
H ∝ c·f1(T)(17)
Wenn man die Kurve als Vektor betrachtet, dann entspricht OZU der
Richtung des Vektors, H entspricht der Länge des Vektors. Für die gemessenen
Kurven gibt es zusätzlich noch vier (unbekannte) Parameter:
• Kalibrierfaktor: Das Y-Achsen-Verhältnis zwischen der Messkurve
und Referenzkurve mit gleichen Parametern, insbesondere gleicher Konzentration.
• X-Skalierung: Der Abstand zweier Punkte der Kurve in Wellenlängen.
• X-Offset: Die Position des Maximums der gemessenen Kurve. Die theoretische
Kurve ist auf der Y-Achse symmetrisch.
• Y-Offset: Die Verschiebung der gemessenen Kurve auf der Y-Achse. Die
theoretische Kurve ist mittelwertfrei.
Wenn man die Messkurve anpassen möchte, müssen diese vier
Faktoren auch bekannt sein. Deswegen kann man zur genaueren Messung zuerst eine
Eichung durchführen, in der diese Werte bestimmt werden.
Im Folgenden wird der Ablauf einer Ausführungsform des Verfahrens
anhand von rein schematischen Figuren genauer beschrieben.
1 zeigt einen Messaufbau eines erfindungsgemäßen
Verfahrens;
2 zeigt skizzenhaft ein Datenflussdiagramm einer Ausführungsform
des erfindungsgemäßen Verfahrens;
3 zeigt einen Parameterzusammenhang zum erfindungsgemäßen
Verfahren.
1 zeigt skizzenhaft einen Messaufbau zur Durchführung
des erfindungsgemäßen Verfahrens mit einer wellenlängendurchstimmbaren
Laserdiode 1, die einen Laserstrahl 2 durch ein Messgas
3 zu einem Laserdetektor 4 abstrahlt. Die Abtastung der 1F- und
2F-Absorptionskurven geschieht nach den bekannten Methoden.
In 2 wird eine Ausführungsform des
erfindungsgemäßen Verfahrens in Form ein Datenflussdiagramms gezeigt.
In den Kasten mit abgerundeten Ecken werden die Betriebsschritte beschrieben, durch
die Pfeile fließen Daten. Die Ellipsen bezeichnen die Variablen bzw. Parameter/Konstanten.
Die durchgezogenen doppelten Ellipsen bezeichnen Eingaben:
• Die Messpunkte für die 2F-Absorptionskurve ("2F-Messkurve");
• Die Messpunkte für die 1F-Absorptionskurve zur Leistungsnormierung
("1F-Messkurve");
• Die angenommene Modulationsamplitude mA_pseudo, diese entspricht nicht
der realen Modulationsamplitude;
• Die Temperatur T0 bei Normalbedingung; und
• Die gemessene Temperatur Tmess ("T_mess")
Man kann für die Eichung eine Kurve verwenden, von der Konzentration
und Druck bekannt sind, so dass der Pseudofaktor und der Kalibierfaktor berechnet
werden können. Pseudofaktor, Kalibierfaktor und die Auflösung bzw. X-Skalierung
sind die "Ausgaben" der Eichung (wie durch die gestrichelten doppelten Ellipsen dargestellt)
und auch gleichzeitig die Eingaben für die Schätzung einer unbekannten
Kurve.
Mit den gestrichpunkteten Linien werden die Operationen und die Schritte
bezeichnet, die nur während der Eichung nötig sind, und mit gepunkteten
Linien werden die Schritte für die Schätzung einer unbekannten Kurve bezeichnet.
Die dreifach umrandeten Ellipsen kennzeichnen die Ausgabe, nämlich
den geschätzten Druck ("P_schätz") und die geschätzte Konzentration
("c_schätz").
Das Verfahren läuft insgesamt folgendermaßen ab:
1. Zunächst werden Vorberechnungen durchgeführt (Schritt I), nämlich:
• Y-Offset wird durch Mittelwertbildung der Messkurve geschätzt. Dieser
wird dann von der Messkurve abgezogen, woraus man eine mittelwertfreie Messkurve
erhält.
• Da die Empfangsleistung für jede Kurve nicht exakt die gleiche ist,
wird man günstigerweise eine Leistungsnormierung durchführen. Für
die Leistungsnormierung gilt: der Wert des mittleren Wendepunkts des 1F-Signals
ist ein Maß für die Mittelwert der Sendeleistung. Daher kann die vom Y-Offset
befreite Kurve durch diesen Wert dividieren und so die Leistung normieren. Der Mittelpunkt
des 1F-Signals wird günstigerweise mit einer Geraden approximiert.
• Das Maximum und die zwei Minima der Kurve werden durch Parabeln approximiert.
Durch Untersuchung der nötigen Punktanzahl der Parabelanpassung
ergibt sich folgendes Ergebnis: Das Maximum wird mit 5 Punkten zu jeder Seite als
Parabel 2 Ordnung imitiert. Die Minima werden mit 3 Punkten zu jeder Seite als Parabel
2. Ordnung imitiert.
Dies liefert sowohl eine genauere Schätzung für die Werte
als auch für die Positionen der Minima bzw. des Maximums. Dadurch dass die
Kurvenspitze analytisch durch eine Parabel berechnet werden kann, kann man die Position
des Maximums bzw. Minimums der Parabel mit höherer Genauigkeit als auf einen
Punkt bestimmen.
Die Nullstellen kann man für die Ermittelung der X-Skalierung
bzw. Auflösung folgendermaßen bestimmen:
• Bei den Nullstellen wird zu jeder Seite mit 3 Punkten eine Geradenanpassung
durchgeführt. Diese Möglichkeit wird in der Simulation gewählt, aber
man kann auch in dem Programm die Möglichkeiten einfach umschalten.
• Auch wird das Integral des 2F-Signals gebildet und das Maximum und
Minimum dieses Integrals durch eine Parabel imitieren. Diese Positionen dieser Extrempunkte
entsprechen den Positionen der zwei Nullstellen. Der Vorteil ist, dass das Rauschen
durch die Integration gedämpft wird.
• Die 2F-Kurve verändert sich mit unterschiedlicher Differenz zum
Linienmittel, von daher sollte sie symmetrisch auf der X-Achse liegen. Für
die Berechnung des X-Offsets gibt es u. a. drei Möglichkeiten:
– Durch die Position des Maximums der Kurve (mit Parabelapproximation);
– durch den Mittelwert der Positionen der zwei imitierten minimalen Punkte;
oder
– durch den Mittelwert der Positionen der zwei imitierten Nullstellen.
• OZU ist bei der theoretischen 2F-Kurve definiert als der höchste
Wert der Kurve dividiert durch den niedrigsten Wert der Kurve. Bei der Messkurve
ist diese Berechnung häufig zu ungenau. Das Maximum und das Minimum können
verrauscht sein. Aufgrund der Modulation sind die Minima der Kurve häufig auch
unsymmetrisch.
Es werden hier zwei Methoden dargestellt, OZU zu berechnen:
– Division von Extrempunkten:
– Skalarprodukt/Korrelation
Man kann auch berechnete normierte OZU-Referenzkurven speichern. Durch
das Skalarprodukt testet man die Ähnlichkeit der Messkurve mit den normierten
OZU-Referenzkurven, siehe 3. Bei der Referenzkurve
mit dem größten Skalarprodukt ergibt sich das OZU der Messkurve. Daraus
berechnet man die Skalarprodukt, indem man jedes Element aus den Arrays multipliziert
und addiert.
Skalarprodukt = M→·R→
= |M→|·|R→|·cos(ϕ)(19)
M:
Vektor Messkurve
R:
Vektor normierte Referenzkurve
ϕ:
der Winkel zwischen den zwei Vektoren
Da die Länge von M→ und die Länge von R→ immer konstant bleibt, ist ϕ die Güte des Skalarprodukts. D. h.:
wenn ϕ groß ist, ist das Skalarprodukt klein, wenn ϕ klein ist,
ist das Skalarprodukt groß. Ein kleines ϕ deutet an, dass die Kurven
große Ähnlichkeit haben, d.h., der quadratische Fehler |M – R|2
ist klein. Nachteiligerweise benötigt dieses Verfahren viel Aufwand bezüglich
Speicher- und Rechenaufwand. Zusätzlich benötigt dieses Vorgehen auch
die Information über X-Skalierung. Von daher kann man mit diesem Verfahren
keine Eichung durchführen.
• Berechnung von p_pseudo
p_pseudo = f(ozu, T0, mA_pseudo)(20)
Man kann unter konstantem MA_pseudo und T0 den Zusammenhang
zwischen OZU und P_pseudo berechnen und diesen in einer Interpolationsparabel von
hoher Ordnung speichern. Der Speicheraufwand ist sehr gering, nämlich nur die
Koeffizienten der Parabel. Hier hat die Parabel 11. Ordnung, um P_pseudo aus OZU
mit einem Fehler von maximal 1e–3 zu berechnen (ozu = 0.6856...3.3157
⇒ p_pseudo = 0.6...8 bar)
• Berechnung der X-Skalierung
Die X-Skalierung wird dadurch bestimmt, dass man den theoretischen
Abstand der zwei Minima/Nullstellen nimmt, und die mit dem Abstand der zwei interpolierten
Minima/Nullstellen der Messkurve vergleicht.
Unter der vordefinierten bzw. angenommenen Modulationsamplitude MA_pseudo
und der konstanten Temperatur T0 kann man das Verhältnis von P_pseudo
und dem Abstand der zwei Minima/Nullstellen der theoretischen Kurve genau untersuchen
und als Parabel approximieren. Die Koeffizienten der Parabel können dabei gespeichert
werden. D.h., dass man aus dem geschätzten P_pseudo den theoretischen Abstand
der zwei Minima/Nullstellen berechnen kann.
Berechnungsablauf (Schritt II)Eichung
• In dem (Kern-)Algorithmus der Eichung werden P_pseudo und die X-Skalierung
variiert.
Es werden Referenzkurven mit C = 1%, T = 23°C und mA_pseudo der
jeweiligen X-Skalierung mit X-Offset und dem jeweiligen P_pseudo erzeugt. Die 2F-Referenzkurve
kann mit Hilfe der Fast Fourier Transformation (FFT) oder einer vorhandenen Formel
berechnet werden, kann aber auch durch Interpolation von gespeicherten "Referenzkurven"
erzeugt werden, welche gemessen oder berechnet werden, also sozusagen "offline"
erzeugt werden können. Man braucht bei dieser Variante also nur einmal einen
hohen Aufwand für eine Berechnung zu treiben, um danach mehrmals darauf zurückgreifen
zu können.
Der Algorithmus läuft folgendermaßen ab: Das Eingangssignal
ist (&dgr;&lgr;0 + mA cos (z)), also ein sinusförmiges Signal
um den Punkt &dgr;&lgr;0. Setzt man das Eingangssignal in die Formel
der Absorptionslinie ein, erhält man ein Ausgangssignal. Dieses Ausgangsignal
wird mit der FFT transformiert, und dann der Wert des Spektrums beim zweifachen
der Grundfrequenz ausgelesen. Wenn man &dgr;&lgr;0 variiert und als
x-Achse interpretiert, erhält man die 2F-Signalkurve.
• Dann werden der Y-Skalierfaktor &agr; (Koeffizient der Messkurve
Projektion und der Referenzkurve), und der Quadratische Fehler |M – &agr;R|2
ausgerechnet. M ist der Vektor der Werte der Messkurve, R ist der Vektor der Werte
der Referenzkurve. In 3 wird das vektorielle Schätzprinzip
anschaulich dargestellt.
Das P_pseudo und die X-Skalierung mit der größten Güte
(der kleinste quadratische Fehler) werden vom z. B. genetischen Algorithmus als
geschätztes Ergebnis ausgegeben. Die bestimmte X-Skalierung und der
Kalibrierfaktor (aus Y-Skalierung und der bekannten Konzentration berechnet) werden
später in der Messkurvenabschätzung als Konstanten benutzt. In diesem
Sinne können also die X-Skalierung und der Kalibrierfaktor für ein bestimmtes
Gerät voreingestellt werden, wobei vorteilhafterweise ab und zu die Werte aufgefrischt
werden sollten.
Wenn man auch an einer Schätzung des Druckes interessiert ist,
wird auch der Pseudofaktor bestimmt. Dieser ist das Verhältnis zwischen realem
Druck und P_pseudo, und ist auch das Verhältnis zwischen der realen Modulationsamplitude
und mA_pseudo.
Es gibt zwei Wege, den Faktor &agr; zu bestimmen (den Y-Skalierfaktor
zwischen Referenzkurve und anzupassender Messkurve):
• Least-Squares-Schätzer (ideal: &agr; so, dass |M – &agr;R|2
minimal)
• Dividieren der zwei Werte der Maxima
Schätzung einer unbekannten Messkurve
• Zur Schätzung einer unbekannten Messkurve variiert man nur P_pseudo.
Die Berechnung der Fitness/Güte (bzw. des quadratischen Fehlers) geht genauso
wie bei der Eichung, außer dass die X-Skalierung nun fest auf dem durch die
Eichung bestimmten Wert liegt.
• Die Y-Skalierung &agr; dividiert durch Kalibierfaktor ergibt sich
die Konzentration c (unter der Bedingung 23 Grad).
• P_pseudo wird mit dem Pseudofaktor korrigiert (unter der Bedingung
23 Grad).
Nachberechnung bzw. Temperaturkorrektur (Schritt III)
• Die Konzentration c bzw. der Kalibrierfaktor wird vorzugsweise mit
f1(T) korrigiert. Dies kommt daher, dass in dem Algorithmus Referenzkurven
mit der konstanten Temperatur 23° berechnet worden sind.
• Der Druck P wird mit f2(T) aus dem gleichen Grund korrigiert.
Ein großer Vorteil des oben beschriebenen Verfahrens ist, dass
für die Kurvenanpassung nur eine einzige charakteristische Größe
(P_pseudo) variiert werden muss, und zwar trotz mehrerer unbekannter Parameter.
Dies bedeutet einen geringen Rechenaufwand, was auch die Implementierung über
einen Mikrocontroller ermöglicht.
Das 'Oben-zu-Unten-Verhältnis' fasst mehrere unbekannte Parameter
wie Modulationsamplitude, Druck und X-Skalierung zusammen. Man kann die richtige
Konzentration bestimmen, wenn man die richtige Kurvenform gefunden hat, und zwar
ohne den richtige Druck und Modulationsamplitude zu kennen. Wenn die anzupassende
Kurve als Vektor angesehen wird, dann bezeichnet die Kurvenform 'Oben-zu-Unten Verhältnis'
die Richtung des Vektors, während die Konzentration die Länge des Vektors
bezeichnet (siehe 3). Die Konzentration c braucht man
nicht zu variieren, da die optimale Konzentration zu jeder Kurveform berechnet werden
kann, z. B. mit einem Least-Square-Schätzer. Da es bei der Schätzung der
normalen Messkurve nur einen Parameter zu variieren gibt, kann man auch verschiedene
Algorithmen benutzen. Das Verfahren ist nicht auf genetische Algorithmen eingeschränkt.
Bei der Eichung braucht man nur zwei Parameter zu variieren.
Anspruch[de]
Verfahren zur Bestimmung eines Zustandsparameters eines Gases nach der
Wellenlängenmodulations-Spektrometrie, welches mindestens die folgenden Schritte
umfasst:
a) Aufnehmen einer 2F-Absorptionsmesskurve einer Absorptionslinie des Gases;
b) Festlegen einer zu der 2F-Absorptionsmesskurve passenden Kurvenform einer Referenzkurve
durch Wahl eines geeigneten OZU-Verhältnisses (OZU).Verfahren nach Anspruch 1, wobei die normierte Referenzkurve eine auf
eine vorbestimmte Konzentration (c) des Gases normierte 2F-Absorptionskurve
ist, insbesondere auf eine Konzentration (c) von ca. 1 % normierte 2F-Absorptionskurve
ist.Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, wobei der Zustandsparameter eine Konzentration
(c) des Gases ist, und das Verfahren weiterhin folgende Schritte umfasst:
c) Anpassen der Referenzkurve an die 2F-Absorptionskurve durch Einstellen eines
Y-Skalierungsfaktors (&agr;); und
d) Bestimmen der Konzentration (c) aus dem Y-Skalierungsfaktor (&agr;) der angepassten
Referenzkurve.Verfahren nach Anspruch 3, worin in Schritt c) das Einstellen des Y-Skalierungsfaktors
(&agr;) mittels einer Least-Square-Abschätzung geschieht.Verfahren nach Anspruch 2, worin in Schritt c) das Einstellen des Y-Skalierungsfaktors
(&agr;) mittels einer Division eines Maximums des Messkurve durch ein Maximum
der normierten Referenzkurve geschieht.Verfahren nach einem der Ansprüche 2 bis 5, worin in Schritt d)
das Bestimmen der Konzentration (c) eine Temperaturkorrektur umfasst.Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, wobei der Zustandsparameter
ein Druck (P) des Gases ist, und das Verfahren weiterhin folgende Schritte umfasst:
e) Bestimmen des Drucks aus dem OZU-Verhältnis (OZU).Verfahren nach Anspruch 7, worin in Schritt e) das Bestimmen des Drucks
(P) eine Druckkorrektur umfasst, bei der ein für die aktuelle Messung angenommener
Druck (P_pseudo) mittels eines Druckkorrekturfaktors (Pseudofaktor) in den zu bestimmenden
Druck (P, P_schätz) umgerechnet wird.Verfahren nach Anspruch 8, worin der Druckkorrekturfaktor (Pseudofaktor)
mittels einer Eichung ermittelt wird.Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, wobei vor Schritt
a) eine Abhängigkeit des Druckes vom OZU-Verhältnis (OZU) und/oder der
X-Skalierung vom Druck bestimmt wird und abgespeichert wird, insbesondere in Form
einer Formel, insbesondere eines Polynoms.Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, wobei vor jeder
Durchführung des Verfahrens eine Bestimmung von Startwerten für das OZU-Verhältnis
(OZU) und/oder den Pseudo-Druck (P_pseudo) aus der gemessenen 2F-Absorptionsmesskurve
durchgeführt wird.Verfahren nach Anspruch 11, wobei die Bestimmung der Startwerte durchgeführt
wird unter Verwendung von
c. Parabelanpassungen für die Bestimmung des Maximums und der Minima der 2F-Absorptionsmesskurve
für die Nullstellen der 2F-Kurve und/oder durch
d. eine Bestimmung einer Autokorrelation mit der ReferenzkurveVerfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, wobei vor Schritt
a) eine Kalibrierung eines zur Durchführung des Verfahrens verwendeten Messsystems
durchgeführt worden ist, wobei das Messsystem mit bekannten Gaskonzentrationen
(c) bei verschiedenen bekannten Temperaturen (T) und Drucken (P) betrieben wird.Verfahren nach Anspruch 13, wobei bei der Kalibrierung ein Eichfaktor
zwischen der Y-Skalierung (&agr;) und der Gaskonzentration (c), eine X-Skalierung
und ein Eichfaktor zwischen Pseudodruck (P_pseudo) und wahrem Druck (P) bestimmt
wird.Verfahren nach Anspruch 13, wobei ein Eichfaktor für den Druck
aus dem Verhältnis zwischen angenommener Modulationsamplitude (mA_pseudo) und
wahrer Modulationsamplitude (mA) bestimmt wird.